Historia de los conjuntos

 la teoría de conjuntos



La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente de la historia de muchas otras áreas de las matemáticas. Para la mayoría de las zonas de un largo proceso general, existen antecedentes en el que las ideas evolucionan hasta un flash final de la inspiración, a menudo por una serie de matemáticos casi al mismo tiempo, produce un descubrimiento de gran importancia.

La teoría de conjuntos sin embargo, es bastante diferente. Es la creación de una persona, Georg Cantor . Antes de examinar la historia principal de Cantor desarrollo s 'de la teoría, primero examinamos algunas de las contribuciones temprana.

La idea de infinito había sido objeto de profundas reflexiones de la época de los griegos. Zenón de Elea , en alrededor de 450 a. C., con sus problemas en el infinito, realizó una importante contribución temprana. En la discusión de la Edad Media de lo infinito ha llevado a la comparación de conjuntos infinitos. Por ejemplo Alberto de Sajonia , en subtilissime Questiones en libros de celo et mundi, demuestra que un haz de longitud infinita tiene el mismo volumen que el 3-espacio. Él lo demuestra por aserrado la viga en trozos imaginarios que luego se ensambla en sucesivas capas concéntricas que llenan el espacio.

Bolzano fue un filósofo y matemático de gran profundidad de pensamiento. En 1847 él consideraba establece con la siguiente definición

una encarnación de la idea o concepto que concebimos cuando lo que se refiere la disposición de sus partes como una cuestión de indiferencia.

Bolzano defendió el concepto de un conjunto infinito. En este momento muchos creían que los conjuntos infinitos no podría existir. Bolzano dio ejemplos para demostrar que, a diferencia de los conjuntos finitos, los elementos de un conjunto infinito puede ponerse en correspondencia 1-1 con los elementos de uno de sus subconjuntos propios. Esta idea finalmente llegó a ser usado en la definición de un conjunto finito.

Fue con Cantor trabajo s 'sin embargo, que la teoría de conjuntos llegaron a ser puestos en una base adecuada matemática. Cantor s 'primeros trabajos fue en la teoría de números y publicó una serie de artículos sobre el tema entre 1867 y 1871. Estos, aunque de gran calidad, no dan ninguna indicación de que fueron escritas por un hombre a punto de cambiar todo el curso de matemáticas.

Un acontecimiento de gran importancia ocurrió en 1872, cuando Cantor hizo un viaje a Suiza. Hay Cantor se reunieron Richard Dedekind y una amistad creció que iba a durar por muchos años. Numerosas cartas entre los dos en el año 1873-1879 se conservan y aunque estas matemáticas relativamente poco hablar, está claro que Dedekind 's profunda lógica de pensar de manera abstracta fue una gran influencia en Cantor como se desarrollaron sus ideas.

Cantor pasó de la teoría de números a los papeles en series trigonométricas. Estos documentos contienen Cantor 's primeras ideas sobre la teoría de conjuntos y también importantes resultados en los números irracionales. Dedekind estaba trabajando de forma independiente en los números irracionales y Dedekind publicado Continuidad y números irracionales.

En 1874 Cantor publicó un artículo en Crelle 's Journal, que marca el nacimiento de la teoría de conjuntos. Un documento de seguimiento en marcha fue presentado por Cantor a Crelle 's Journal en 1878, pero la teoría de conjuntos ya se estaba convirtiendo en el centro de la controversia. Kronecker , que estaba en la redacción de Crelle 's Journal, estaba satisfecho con el nuevo contenido en las ideas revolucionarias Cantor s de papel ". Cantor tuvo la tentación de retirar el papel, sino Dedekind convenció a Cantor no retirarlo y Weierstrass apoyó la publicación. El documento se publicó, pero Cantor no presentó ninguno trabajando para Crelle 's Journal.

En su documento de 1874 Cantor considera al menos dos tipos diferentes de infinito. Antes de estos órdenes de infinitud no existen, pero todas las colecciones infinitas fueron considerados «el mismo tamaño". Sin embargo Cantor examina el conjunto de números algebraicos reales, que es el conjunto de todas las raíces reales de ecuaciones de la forma

a n x n + a n x n -1 -1 + a n x n -2 -2 +. . . + A 1 x + a 0 = 0,

donde a i es un entero. Cantor demuestra que los números reales algebraicos se encuentran en correspondencia biunívoca con los números naturales de la siguiente manera.

Para una ecuación de la forma por encima de definir su índice que se va

| A n | + | a n -1 | + | a n -2 | + ... + | A 1 | + | a | + n 0.

Sólo hay una ecuación de índice 2, es decir, x = 0. Hay 3 ecuaciones de índice 3, a saber,

2 x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0 y x 2 = 0.

Estos dan raíces 0, 1, -1. Para cada índice sólo hay un número finito de ecuaciones por lo que sólo un número finito de muchas raíces. Darles la correspondencia 1-1 con los números naturales es ahora clara, pero ordenándolos por orden de índice y la magnitud cada vez mayor en cada índice.

En el mismo trabajo de Cantor muestra que los números reales no se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales utilizando un argumento con intervalos anidados que es más compleja que la utilizada hoy en día (que en realidad es debido a Cantor en un artículo posterior de 1891 ). Cantor ahora señala que esto demuestra un teorema debido a Liouville , a saber, que existe un número infinito trascendente (es decir, no algebraica) números en cada intervalo.

En su siguiente artículo, el que Cantor había problemas de publicación en Crelle 's Journal, Cantor introduce la idea de la equivalencia de los conjuntos y ha dicho dos conjuntos son equivalentes o tienen el mismo poder si pueden ponerse en correspondencia 1-1. palabra «El poder del ' Cantor tomó de Steiner . Se demuestra que el números racionales tienen el menor poder infinito y también muestra que R n tiene el mismo poder como R. Se muestra, además, que muchas copias numerable de R todavía tiene el poder igual que el R. En esta etapa de Cantor no utiliza la palabra contable, pero él era introducir la palabra en un documento de 1883.

Cantor publicó un tratado de seis partes sobre la teoría de conjuntos de los años de 1879 a 1884. Este trabajo aparece en Mathematische Annalen y fue un movimiento valiente por el editor para publicar el trabajo a pesar de una creciente oposición a Cantor ideas s '. La principal figura de la oposición fue Kronecker , que fue una figura muy influyente en el mundo de las matemáticas.

Kronecker s crítica "fue construido en el hecho de que él sólo creía en las matemáticas constructivas. Él sólo se acepta objetos matemáticos que se podría construir un número finito de la intuición conjunto dado de números naturales. Cuando Lindemann demostró que π es transcendental en 1882 Kronecker dijo

¿De qué sirve su investigación bellas de π. ¿Por qué este tipo de problemas de estudio, cuando los números irracionales no existen.

Ciertamente Cantor arreglo s 'de infinitos diferentes imposible en este modo de pensar.

Cantor sin embargo continuó con su trabajo. Su quinto trabajo en el tratado de seis partes se publicó en 1883 y se analizan los conjuntos bien ordenados. números ordinales se presentó como el tipo de objeto los conjuntos bien ordenados. La multiplicación y la suma de números transfinitos también se definen en este trabajo a pesar de Cantor era dar una más amplia exposición de la aritmética transfinita en la obra posterior. Cantor tiene una porción bastante de este artículo que justifican su trabajo. Cantor dijo que la matemática es bastante libre y cualquier concepto puede se presentó con la única condición de que éstos se encuentran libres de contradicción y se define en términos de conceptos previamente aceptados. También cita muchos autores anteriores que habían dado opiniones sobre el concepto de infinito como Aristóteles , Descartes , Berkeley , Leibniz y Bolzano .

El año 1884 fue una de las crisis de Cantor . Él estaba contento con su posición en Halle y le hubiera gustado ir a Berlín. Sin embargo, esta medida fue bloqueada por Schwarz y Kronecker . En 1884 Cantor escribió 52 cartas a Mittag-Leffler cada uno de los cuales atacaron Kronecker. En este año de crisis mental Cantor pareció perder la confianza en su propia obra y se aplica para dar conferencias sobre la filosofía más que en las matemáticas. La crisis no duró mucho tiempo ya principios de 1885 Cantor se recuperó y su fe en su propia obra había vuelto. Sin embargo, a pesar de una gran cantidad de trabajo importante en los años posteriores a 1884, hay algunos indicios de que nunca se lograron en esa época alturas del genio que sus papeles notables mostró durante el período de 10 años desde 1874 hasta 1884.

Aunque no es de gran importancia en el desarrollo de la teoría de conjuntos vale la pena señalar que Peano la creación del símbolo para 'es un elemento de' en 1889. Viene de la primera letra si la palabra griega que significa 'es'.

En 1885 Cantor siguió ampliando su teoría de los números cardinales y de tipos de órdenes. Él extendió su teoría de los tipos de pedido para que ahora su previamente definidos los números ordinales se convirtió en un caso especial. En 1895 y 1897 Cantor publicó su tratado de doble final en conjuntos de la teoría. Contiene una introducción que se parece a un libro moderno sobre la teoría de conjuntos, la definición de conjunto, subconjunto, etc Cantor demuestra que si A y B son conjuntos con un equivalente a un subconjunto de B y B equivale a un subconjunto de A entonces A y B son equivalentes. Este teorema fue demostrado también por Felix Bernstein forma independiente y por E Schröder .

Las fechas 1895 y 1897 son importantes para la teoría de conjuntos de otra manera. En 1897 publicó la primera paradoja aparece, publicado por Cesare Burali-Forti . Algunos de los efectos de esta paradoja se perdió desde Burali-Forti tiene la definición de un conjunto bien ordenado mal! Sin embargo, aunque la definición se corrigió, la paradoja se mantuvo. Básicamente gira en torno al conjunto de los números ordinales. El número ordinal del conjunto de todos los ordinales debe ser un ordinal y esto lleva a una contradicción. Se cree que Cantor descubrió esta paradoja a sí mismo en 1885 y escribió a Hilbert sobre él en 1886. Esta cifra es ligeramente sorprendente, ya que Cantor fue muy crítico con la Burali-Forti papel cuando apareció. El año 1897 fue importante para Cantor de otra manera, porque en ese año el primer Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Zurich y en esa conferencia Cantor s de trabajo se celebró en la más alta estima de ser elogiado por muchos como Hurwitz y Hadamard .

En 1899 Cantor descubrió otra paradoja que surge del conjunto de todos los conjuntos. ¿Cuál es el número cardinal del conjunto de todos los conjuntos? Está claro que debe ser la mayor posible, sin embargo, el cardenal cardinal del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto siempre tiene un cardenal mayor que el fijado. Empezó a parecer como si la crítica de Kronecker podría ser al menos parcialmente, el derecho puesto que la extensión del concepto demasiado lejos parecía estar produciendo las paradojas. El último 'paradoja fue encontrada por Russell en 1902 (y se encontró de forma independiente por Zermelo ). Se simplifican definido un conjunto

A = (X | X no es miembro de X).

Russell le preguntó: - ¿Es un elemento de una A? Tanto el supuesto de que A es un miembro de A y A no es miembro de un lugar a una contradicción. La construcción se fijó como parece dar una paradoja.

Russell escribió a Frege a hablarle de la paradoja. Frege había estado cerca de la finalización de su principal tratado sobre los fundamentos de la aritmética. Frege añadido un reconocimiento a su tratado.

Un científico difícilmente puede encontrarse con algo más indeseable que tener las bases dan paso al igual que el trabajo está terminado. En esta posición me metieron por una carta del Sr. Bertrand Russell como el trabajo estaba casi por la prensa.

En esta etapa, sin embargo, la teoría de conjuntos ya comenzaba a tener un impacto fundamental en otros campos de las matemáticas. Lebesgue se define «medida» en 1901 y en 1902 se define la integral de Lebesgue en el set conceptos teóricos. Análisis necesaria la teoría de conjuntos de Cantor , no podía darse el lujo de limitarse a la matemática intuicionista estilo en el espíritu de Kronecker . Más que descartar la teoría de conjuntos, porque de las paradojas, las formas se procuró mantener las características principales de la teoría de conjuntos sin embargo, eliminar las paradojas.

¿El paradojas proceder del «axioma de elección? Cantor había utilizado el "axioma de elección" sin sentir que era necesario escogerlo para ningún tratamiento especial. La primera persona que tenga en cuenta explícitamente que él estaba usando como un axioma parece haber sido Peano en 1890 para hacer frente a una prueba de la existencia de soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales. Nuevamente en 1902 fue mencionado por Beppo Levi, pero el primero en introducir formalmente el axioma fue Zermelo , cuando probó, en 1904, que cada conjunto puede estar bien ordenado. Este teorema había conjeturado Cantor . Émile Borel señaló que el axioma de elección es de hecho equivalente a Zermelo 's teorema.

Gödel demostró, en 1940, que el axioma de elección no puede ser refutada con los otros axiomas de la teoría de conjuntos. No fue sino hasta 1963 que Paul Cohen demostró que el axioma de elección es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos.

Russell s paradoja "ha socavado la totalidad de las matemáticas en Frege palabras s '. Russell , tratando de reparar el daño, hizo un intento de poner de nuevo en las matemáticas una base lógica en su importante obra Principia Mathematica escrita con Whitehead . Este trabajo intenta reducir los fundamentos de la matemática a la lógica y fue muy influyente. Sin embargo, el método para evitar las paradojas mediante la introducción de una "teoría de los tipos 'hizo imposible decir que una clase es o no un miembro de sí misma. No me pareció una manera muy satisfactoria en torno a los problemas y otros buscaron diferentes maneras.

Zermelo en 1908 fue el primero en intentar una axiomatización de la teoría de conjuntos. Muchos otros matemáticos intentaron axiomatise la teoría de conjuntos. Fraenkel , von Neumann , Bernays y Gödel son figuras importantes en este desarrollo. Gödel mostró las limitaciones de cualquier teoría axiomática y los objetivos de los matemáticos muchos como Frege y Hilbert nunca llegaron a concretarse.