Conbinaciones

G) COMBINACIONES.


Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.



La fórmula para determinar el número de combinaciones es:


nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos



Donde se observa que,


La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.


nPr = nCr r!


Y si deseamos r = n entonces;


nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1


¿Qué nos indica lo anterior?

Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.



Ejemplos:

1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?



Solución:

a. n = 14, r = 5



14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!

= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!

= 2002 grupos


Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.


b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5


En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres


8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!)

= (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)

= 8 x7 x 6 x 5 /2!

= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas



c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más


Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres

= 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 126